Curiosa la paradoja de las cajas

[tarkker]

Me parece a mi que hay mucho teleco por aqui que entiende de señales :jejeje:

[Sarkot]

pero vosotros estais contando con la premisa de que siempre cambias de caja. eso es lo que me ha liado. por eso decís que la probabilidad es de 66%, porque también podeis elegir no cambiar la caja, y ahí sería 1/3 con lo cual se compensaría llegando al 1/2.

lo que me ha lastrado es la excesiva mirada matemática. no estoy acostumbrado a que te pongan de planteamiento algo que NO es aleatorio, porque no tendría sentido el plantearse algo que no es aleatorio porque analíticamente no tiene interés estudiar un experimento así. es por eso por lo que me he liado y ya no sabía qué decía.

pero no estaba equivocado en mis premisas. si la caja eliminada es al hazar,  y el cambio de caja también, la probabilidad de ganar es de 1/6. pero si la caja eliminada es eligiendo a dedo, y el cambio ya sea aleatorio o no, la probabilidad de ganar es de 1/2.
lo que había planteado era correcto en mi mundo con mis premisas, pero había olvidado que las premisas eran otras, y es que tú puedes elegir cambiar o no, y la caja vacía se elimina "a dedo".

y sí, yo soy teleco, en 2º/3º que estoy. eso sí, señales aleatorias aún me queda XDDDDDD. estaba claro, no?

[tarkker]

si todo fuera aleatorio (como una señal de ruido, frikada ya que estamos,jaja) la probabilidad de acertar seria del 16% 1 de 6. (1 de 3 de cojer la buena al principio y 1 de 2 de volver a cojer la buena en el segundo cambio).

Pero las premisas que teniamos no eran todas aleatorias y ahi esta la ventaja de hacer el cambio, que como tienes 1/3 de cojer la buena y cojas la que cojas te eliminaran una mala, solo tienes 1/3 de ganar si no haces el cambio y tienes 2/3 de ganar haciendolo.

[khian]

Esa es la paradoja que explican en 21 Blackjack jajajaja

[tarkker]

Exacto!! algo muy util esto de las probabilidades para los que les guste los juegos como el poker o el black jack .... :silbar:

Por eso echan de los casinos a la gente que "cuenta" las cartas, porque "juega con ventaja".

Buena peli por cierto, animo a quien no la haya visto.

[khian]

La verdad es que si, la peli es un pasote, así que todo el mundo a verla ^^ Que motiva mucho

[frozst]

Porque al principio tienes un 66 % de coger una caja vacía, ¿verdad? Por tanto, si cambias tu elección acertarás siempre ya que la otra caja contendrá el premio. Es decir, hay un 66 % de posibilidades de que escojas la caja con premio.

Un poco mal dicho, no aciertas siempre, porque no siempre eliges una vacía, como (ahí sí) bien dijo Sarkot

Claro, me refería a que aciertas siempre que hayas elegido una caja vacía, de ahí el 66 %, dos cajas de tres.

pero vosotros estais contando con la premisa de que siempre cambias de caja. eso es lo que me ha liado. por eso decís que la probabilidad es de 66%, porque también podeis elegir no cambiar la caja, y ahí sería 1/3 con lo cual se compensaría llegando al 1/2.

No exactamente, no parto de esa premisa. El caso es que si nunca cambias tus posibilidades serían del 33 %, por el contrario, si cambias siempre tendrás ese 66 % restantes de acertar.

La única premisa es que la caja que se descarta no es de forma aleatoria, siempre es una vacía puesto que el presentador sabe dónde está el premio.

No sé explicarlo mejor, soy de letras  :think:.

[Giayrus]

Tarkker, tú de lo que estás hablando es de un solo caso: acertar al principio y no cambiar. Sí, de esta situación concreta (condicionada a que aciertes a la primera y luego encima no cambies) es una de las 6 posibilidades. Pero la probabilidad de acertar en el caso de cambiar es 2/3, con matemáticas totalmente correctas. De eso trata el juego, de si deberías cambiar o no. Si te haces un programa que elija caja primero, elimine una vacía y luego se quede con la misma, más o menos 1 de 3 aciertas, si cambias más o menos 2 de 3 aciertas. Y digo más o menos porque aunque puede, no tiene por qué salir exacto si haces un número finito de experimentos. Si el programa luego decide cambiar o no cambiar, vas a acertar la mitad de las veces, porque estás teniendo en cuenta cambiar o no cambiar. Si el cambio es aleatorio, sí, es 1/2 la probabilidad de acertar. Ahora, lo de 1/6, el único caso que tendría esa probabilidad sería el acertar a la primera, y, además, no cambiar. Pero la probabilidad es de que sea exactamente eso lo que pase, no de acertar en sí.

pero no estaba equivocado en mis premisas. si la caja eliminada es al hazar,  y el cambio de caja también, la probabilidad de ganar es de 1/6. pero si la caja eliminada es eligiendo a dedo, y el cambio ya sea aleatorio o no, la probabilidad de ganar es de 1/2.
lo que había planteado era correcto en mi mundo con mis premisas, pero había olvidado que las premisas eran otras, y es que tú puedes elegir cambiar o no, y la caja vacía se elimina "a dedo".

No, 1/6 de ganar no existe, como he dicho, existe 1/6 de que sigas unos pasos concretos y además tengas un resultado concreto, pero de ganar no bajas de 1/3 (el caso de no cambiar nunca). Si es a boleo (y lo puedes hacer rápidamente con un programa ya que estudias teleco) absolutamente todo, verás que la mitad de las veces ganas y la mitad no, porque digamos que "te pasas por el forro" la pista que te dan.

No exactamente, no parto de esa premisa. El caso es que si nunca cambias tus posibilidades serían del 33 %, por el contrario, si cambias siempre tendrás ese 66 % restantes de acertar.

La única premisa es que la caja que se descarta no es de forma aleatoria, siempre es una vacía puesto que el presentador sabe dónde está el premio.

No sé explicarlo mejor, soy de letras  :think:.

Serás de letras, pero lo has entendido bastante bien, jeje.
Monty hall's online
Fijaos en las estadísticas que salen al final. Viene también un enlace a una versión en la que el "presentador" no tiene ni idea de dónde está el coche y va a abrir una puerta cualquiera. Como os pongáis a discutir sobre esa versión os sus pego jajaja. Es coña, ahí sigue siendo mejor cambiar en caso de que no destape el premio porque es como si sí lo supiera. Ahora, creo que tienes las de perder globalmente (4/9 si no me equivoco, que es 2/3 del modo antiguo * 2/3 que es la probabilidad de que pases a la segunda ronda)

[tarkker]

Ya, si yo lo tengo muy claro, solo le explicaba a Sarkot lo que pasaria en caso de ser absolutamente todo aleatorio, que no es el caso que expone frozt.

En ese caso de ser TODO aleatorio, la probabilidad de quedarte con la caja buena no seria 2/3 ni 1/3 ni 1/2 si no 1/6 sin lugar a dudas.

Hay 2 posibles casos de llegar a la caja ganadora siendo todo aleatorio, que la elijas 2 veces, al principio y en el cambio o que no la elijas al principio, no se elimine y la recuperes en el cambio.

Caso 1:
Tienes que escoger la caja ganadora 2 veces, una vez entre 3 cajas, con un 33% (1/3) de acertar y otra vez entre 2 cajas con un 50% (1/2) de acertar, para ganar tienes que acertar con la buena 2 veces. Eliges una vez, se elimina una caja y eliges otra vez, si ambas veces eliges al correcta ganas, si no pierdes, es un 16% (1/6) sin lugar a dudas.

Caso 2:
Si en primer lugar , entre las 3 cajas, eliges una de las falsas, que tienes un 66% (2/3) de eligir una falsa, en ese caso hay una posibilidad del 50% (1/2) de que se elimine la buena de entre las 2 que no has cogido, y si se salva, tienes un 50% (1/2) de recuperarla en la segunda eleccion.

No se trata de un caso concreto, si no la probabiliadd que tienes de ganar, si todo es aleatorio, tienes un 16% (1/6) de acertar hagas lo que hagas.

[Sarkot]

tarkker me lo ha quitado de la boca. en caso de ser aleatoria la elección de las cajas primero eligiendo entre 3 y luego eligiendo entre 2, la probabilidad de ganar es 1/6.
creo que Giayrus entiende que cuando tu eliges una caja entre 3, tiene sentido que elijas la misma después entre las dos q quedan, con lo cual da igual que vayas quitando cajas si siempre elijes la misma la probabilidad de ganar será la misma que al principio cuando elegiste 1 caja entre X posibles cajas.
nosotros hablamos de "a puro boleo". tu puedes elegir una caja entre las 3 q hay, y luego entre las dos que quedan coger la otra. es un poco absurdo puesto que ya hiciste tu elección al principio, asi que porqué cambiarla? pero no hablamos de lógica, sino de sucesos aleatorios independientes con identica probabilidad.

añado por si no estaba claro que con estas premisas de total aleatoreidad, no conoces si tu caja es la buena hasta el final, sino no tendría sentido elegir después de que elijas por primera vez si sabes ya si tu caja es la buena o no ¬¬'.

[Cesartron12345]

esto salía en la peli de blackjack jeje

[tarkker]

Pero si decides quedarte con ella o no en el segundo cambio es eleccion tuya. Por el mero echo de ofrecerte el cambio, las opciones se duplican y como solo hay una caja con premio las posibilidades de fallar se doblan, siendo todo aleatorio, ahora... en el caso espuesto al principio, si te aseguran que en el segundo movimiento se ha eliminado una vacia, pues te lo ponen en bandeja, pero ya estas metiendo elecciones no aleatorias. y ahi esta la intuicion o habilidad del jugador, para ver esas "pistas", no todo en esta vida es probabilidad, jejeje.

[frozst]

Eso ya no lo veo, hay un 33 % de probabilidades de que el presentador la joda y destape la caja buena y se acabe el juego, ¿no?

[tarkker]

No, el presentador nunca elige entre las 3 cajas, tu te quedas 1 primero y el presentador elige entre las 2 restantes:

- Si tu has elegido una vacia de las 2 que habia vacias entre las 3 cajas, lo cual pasara en el 66% de los casos, el presentador tiene un 50% de destapar la que tiene el premio de las 2 que le has dejado. si no saca la del premio tu tienes un 50% de recuperarla entre la tuya o la que el presentador dejo.

- Si tu has elegido la unica buena de entre las 3 cajas lo cual pasara en el 33% de los casos, el presentador tiene un 0% de destapar la que tiene el premio, porque la teines tu. por lo que solo eliminara una de las opciones falsas y tu tienes despues un 50% de quedarte la buena que ya teines o cambiarla por la vacia que el presentador dejo.


En cualquiera de los casos tienes una probabilidad del 16,667% (1/6) de quedarte el premio.

[Giayrus]

No digas "sin lugar a dudas", porque las hay, y grandes. Te equivocas, tarkker, estás cerca pero te equivocas. Hay una cosa básica que no has tenido en cuenta, y es que has hallado todas las probabilidades parciales, pero se te olvida que ese 1/6 del que hablas es para un caso concreto en el que, además de ganar, has hecho otras cosas. Si haces la suma de las probabilidades de ganar en cada caso no te da 1/6. Te voy a poner los casos (todos) posibles, con las probabilidades de transición. No afecta a esto que la cabra (se me cuela porque esto se conoce por un programa en el que había dos cabras y un coche) esté siempre en A, ¿vale? Porque de eso la aletoriedad no tiene ni idea. Cuando pongo "la mitad de las veces" en la explicación, por ejemplo, me refiero a la mitad de las veces que ha pasado todo lo anterior. Por cierto, sabido es que si sumas las probabilidades de todos los casos posibles da 1. Una cosa tengo que decir a tu favor: si hubieras sumado lo que tenías en la mano izquierda y lo que tenías en la derecha (ya que te daba 1/6 por un lado, y 1/2 de 1/3 por el otro, que hacen 1/6 + 1/6 = 1/3) habrías acertado completamente. Tú mismo dices que en cualquiera de los casos es 1/6 de probabilidad. Siendo estrictos, en cada uno de esos dos casos la probabilidad de acertar es del 100%, porque ya te han dejado "al final del camino correcto" pero no vamos a entrar en eso, y digamos que cada uno de los casos ocurre 1 de cada 6 veces y al ser 2: 2 de cada 6, es decir, 3. No liemos más las cosas que se van a liar bastante con esto:

Caso 1: Eliges A (1/3 veces)-> fuera vacía (siempre) -> cambias (la mitad de las veces) -> pierdes, probabilidad: 1/3*1/2 = 1/6

Caso 2: Eliges A (1/3 veces)-> fuera vacía (siempre) -> no cambias (la otra mitad de las veces) -> ganas, probabilidad: 1/3*1/2 = 1/6 (ya tenemos 1/6 de ganar, pero no es el único caso en que puedes ganar, así que ya no es 1/6 tu probabilidad de ganar)

Caso 3: Eliges B (1/3 veces)-> fuera la que tiene premio (A) (la mitad de las veces) -> pierdes, probabilidad: 1/3*1/2 = 1/6

Caso 4: Eliges B (1/3 veces)-> fuera la que no tiene premio (C) (la mitad de las veces) -> no cambias (la mitad de las veces) -> pierdes, probabilidad: 1/3*1/2*1/2 = 1/12

Caso 5: Eliges B (1/3 veces)-> fuera la que no tiene premio (C) (la mitad de las veces) -> cambias (la otra mitad de las veces) -> ganas, probabilidad: 1/3*1/2*1/2 = 1/12

Si eliges C, el caso es homólogo a coger B, luego tenemos las mismas probabilidades (Llamémoslos casos 6, 7 y 8. Si sumamos las probabilidades de todos los casos, tenemos:

1/6 + 1/6 (Eligiendo A) + 1/6 + 1/12 + 1/12 (Eligiendo B) + 1/6 + 1/12 + 1/12 (Eligiendo C) = ¡ahí va, si da 1!

Y ahora casos simplificados, venga:

Probabilidad de perder porque al eliminar caja se elimine la que tiene premio: Caso 3 + Caso 6 = 1/3

Probabilidad de perder porque pasas de ronda pero pifias: Caso 1 + Caso 4 + Caso 7 = 1/6 + 1/12 + 1/12 = 1/3

Probabilidad de ganar porque pasas de ronda y no pifias: Caso 2 + Caso 5 + Caso 8 = 1/6 + 1/12 + 1/12 = 1/3

Conclusión: 1/3 de las veces vas a pencar porque eliges mal la primera vez y la segunda te quedas sin premio. De los 2/3 restantes, ganarás la mitad por cambiar y cambiar bien o quedarte y quedarte bien y la otra mitad, perderás, así que 2 de cada 3 veces vas a perder. Ahora, si pruebas la infalibilidad del método "yo cambio sí o sí si paso de ronda" Resulta que sigue estando 1/3 de perder porque te destapen la buena pero si pasas, vas a cambiar siempre, y la mitad de las veces va a ser porque habías elegido bien y la mitad porque habías elegido mal pero cambias, así que tienes 1/3 de posibilidades de ganar cambiando. ¿Qué ha pasado? Que la puerta se abre "sin pensar" y te cargas 1/3 de las posibilidades que tenía el concursante antes, que eran 2/3. Antes me equivoqué y dije que era 2/3*2/3 pero no había tenido en cuenta todo, es 1/3.

Si así no os he convencido, doy por perdido el caso, pero mi razonamiento está completo y bien. No he estudiado para nada, al fin y al cabo. Y tengo que decir que esto es de lo que más me costó meterme en la cabeza, la probabilística, si no lo que más totalmente, pero aunque me costó, entró.